gr201

【第2章】 Onsager Group \( O_S\)

⇦ \(\quad \)
home \(\quad \)
⇨

\(\nextSection\)
\(\nextSection\)

【2-1】 Onsager Group \( O_S\) に関して

【目的】本web pageの目的は、Onsagerによって導入された(2x2)の行列が構成する群 \(O_S\) の正則表現行列を求めて、それを既約表現行列に分解する計算法の紹介です。

Onsager Groupの存在を知ったのは以下の論文です。

　　　　　「Onsager 論文の四元数演算子が構成する群の既約表現」 2017.5.24　　 鈴木実（著）
　　　　　　　http://totoha.web.fc2.com/Onsager_1.pdf

この鈴木先生の論文では、Onsager Groupに関して、物理的背景、指標表の計算、更には既約分解法を非常に詳しく 解説されております。このweb pageは、この論文の既約分解法とは違って、グレブナー基底を使った既約表現の分解方法を試してみたので、僭越ですが解説記事にさせてもらいました。

【2-2】\(O_S\) における計算準備

先ず、Onsager Groupには特別な記号がないので、この解説では勝手に以下のような記号を使用させてもらいます。

　　　　(1) \(O_S\) ：下記【表1】の8つの行列が生成する Onsager Group（行列群）の省略記号とします。

　　　　(2) \(\{ \pm E, \pm S, \pm C, \pm H \}\): \(O_S\) の元の要素の記号とします。

Onsagerの論文では \(\{1,s_j,C_j,s_jC_j\}\) という 記号が使われていますが、Onsager Groupの8個の元の積表を作成する場合、特に \([ \ s_jC_j \ ]\)は記号が複雑になってしまうために、本pageでは \(H\) という 記号に変更させてもらいました。

【表1】Onsager Group \(O_S\) と群代数 \(\mathbb{C}[O_S]\) の対応
\(O_S\) の元\(E\)\(-E\)\(S\)\(-S\)\(C\)\(-C\)\(H\)\(-H\)
\(O_S\) の元の行列表示\(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0 & -1\\-1 & 0\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}\)
郡代数 \(\mathbb{C}[O_S]\) の元\(g_{1}\)\(g_{2}\)\(g_{3}\)\(g_{4}\)\(g_{5}\)\(g_{6}\)\(g_{7}\)\(g_{8}\)


【表１】の\(O_S\) の行列表示を利用して \(O_S\)の元同士の積表を作成すると、以下の【表2】となる。

【表2】Onsager Group \(O_S\) の元 の積表
\( i \backslash j \)\(E\)\(-E\)\(S\)\(-S\)\(C\)\(-C\)\(H\)\(-H\)
\( E\)\(E\)\(-E\)\(S\)\(-S\)\(C\)\(-C\)\(H\)\(-H\)
\( -E\)\( -E\)\(E\)\(-S\)\(S\)\(-C\)\(C\)\(-H\)\(H\)
\( S\)\( S\)\(-S\)\(E\)\(-E\)\(H\)\(-H\)\(C\)\(-C\)
\( -S\)\( -S\)\(S\)\(-E\)\(E\)\(-H\)\(H\)\(-C\)\(C\)
\( C\)\( C\)\(-C\)\(-H\)\(H\)\(E\)\(-E\)\(-S\)\(S\)
\( -C\)\( -C\)\(C\)\(H\)\(-H\)\(-E\)\(E\)\(S\)\(-S\)
\( H\)\( H\)\(-H\)\(-C\)\(C\)\(S\)\(-S\)\(-E\)\(E\)
\( -H\)\( -H\)\(H\)\(C\)\(-C\)\(-S\)\(S\)\(E\)\(-E\)


今後、正則表現行列や冪等元の行列を計算するために、 \(O_S\) の群代数元 \(\mathbb{C}[O_S]\) を導入しますが、既に【表１】に \(O_S\) の元と、群代数元 \(\mathbb{C}[O_S]\) の基底 \(\{g_1,g_2,..,g_8\}\) の対応表を載せてあります。
従って、基底 \(\{g_1,g_2,..,g_8\}\) の演算規則は、【表２】をそのまま対応表に従えば【表３】となります。

【表3】郡代数 \(\mathbb{C}[O_S]\) の元 \(g_i \cdot g_j=g_k \) の積表
\( i \backslash j \)\(g_1\)\(g_2\)\(g_3\)\(g_4\)\(g_5\)\(g_6\)\(g_7\)\(g_8\)
\(g_1\)\({g_1}\)\({g_2}\)\({g_3}\)\({g_4}\)\({g_5}\)\({g_6}\)\({g_7}\)\({g_8}\)
\(g_2\)\( {g_2}\)\({g_1}\)\({g_4}\)\({g_3}\)\({g_6}\)\({g_5}\)\({g_8}\)\({g_7}\)
\(g_3\)\( {g_3}\)\({g_4}\)\({g_1}\)\({g_2}\)\({g_7}\)\({g_8}\)\({g_5}\)\({g_6}\)
\(g_4\)\( {g_4}\)\({g_3}\)\({g_2}\)\({g_1}\)\({g_8}\)\({g_7}\)\({g_6}\)\({g_5}\)
\(g_5\)\( {g_5}\)\({g_6}\)\({g_8}\)\({g_7}\)\({g_1}\)\({g_2}\)\({g_4}\)\({g_3}\)
\(g_6\)\( {g_6}\)\({g_5}\)\({g_7}\)\({g_8}\)\({g_2}\)\({g_1}\)\({g_3}\)\({g_4}\)
\(g_7\)\( {g_7}\)\({g_8}\)\({g_6}\)\({g_5}\)\({g_3}\)\({g_4}\)\({g_2}\)\({g_1}\)
\(g_8\)\( {g_8}\)\({g_7}\)\({g_5}\)\({g_6}\)\({g_4}\)\({g_3}\)\({g_1}\)\({g_2}\)


【2-3】 \(O_S\) の左正則表現 \(L_i\)

群代数 \(\mathbb{C}[O_S]\) の元 \(x\) の左正則表現 \(x\) を計算する。
その為には、下式(3.1)に示すように \(x\) に右から \(\mathbb{C}[O_S]\) の基底 \(\{g_1,g_2,...,g_8\}\) を順にかけて、 8個の基底で展開するような形式にします。

\begin{align} &x \cdot g_{i}=y_1g_1+y_2g_2+...+y_8g_8 & &\rightarrow & &\mathbf{u}_{i}=[y_1,y_2,...,y_8] \\ &\qquad [i=1,2,...,8] & & & & \notag \\ \end{align}

具体例として \(x=g_4\) として、\(-S\) の正則表現行列を求めてみる。式(3.1)を具体的に書くと式(3.2)となる。
最後に式(3.3)の様に8個の \(\mathbf{u}_{i}\) を縦ベクトルにして順に並べれば \(g_4\) の左正則表現行列 \(L_{-I}=L_{4}\) を得る事が出来ます。

\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} x \cdot g_{1}=g_4 \cdot g_{1}=g_4 &\rightarrow & \mathbf{u}_{1}= [0,0,0,1,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{2}=g_4 \cdot g_{2}=g_3 &\rightarrow & \mathbf{u}_{2}= [0,0,1,0,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{3}=g_4 \cdot g_{3}=g_1 &\rightarrow & \mathbf{u}_{3}= [0,1,0,0,0,0,0,0]\\ x \cdot g_{4}=g_4 \cdot g_{4}=g_2 &\rightarrow & \mathbf{u}_{4}= [1,0,0,0,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{5}=g_4 \cdot g_{5}=g_8 &\rightarrow & \mathbf{u}_{5}= [0,0,0,0,0,0,0,1] \\ x \cdot g_{6}=g_4 \cdot g_{6}=g_7 &\rightarrow & \mathbf{u}_{6}= [0,0,0,0,0,0,1,0] \\ x \cdot g_{7}=g_4 \cdot g_{7}=g_5 &\rightarrow & \mathbf{u}_{7}= [0,0,0,0,0,1,0,0] \\ x \cdot g_{8}=g_4 \cdot g_{8}=g_6 &\rightarrow & \mathbf{u}_{8}= [0,0,0,0,1,0,0,0] \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ & \qquad \Downarrow \notag \\ &L_{(-S)}=L_{4}=[\mathbf{u}_{1}^T,\mathbf{u}_{2}^T,\mathbf{u}_{3}^T,\mathbf{u}_{4}^T,\mathbf{u}_{5}^T,\mathbf{u}_{6}^T] = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}


手続き(3.2)(3.3)を \(\mathbb{C}[O_S]\) の基底 \(\{g_1,g_2,...,g_8\}\) に適用すると、全ての基底の左正則表現を 求める事が出来ます。

\begin{align} L_{E}&=L_{1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & L_{-E}&=L_{2}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ L_{S}&=L_{3}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & L_{-S}&=L_{4}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ L_{C}&=L_{5}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & L_{-C}&=L_{6}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ L_{H}&=L_{7}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & L_{-H}&=L_{8}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}




⇦ \(\quad \)
home \(\quad \)
⇨

登録: 投稿 (Atom)