グレブナー基底による群の正則表現の既約分解: gr104

【第1章】四元数群 \(Q_{8}\)

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【1-6】\(Q_{8}\)の左正則表現の既約分解

前節で既約分解の為の変換行列 \(T,T^{-1}\) を求める事が出来たので、いよいよ\(\mathbb{C}[Q_{8}]\)の基底の正則表現の既約分解の計算をします。最終的には、下式(1)に示すように　(1x1)+(1x1)+(1x1)+(1x1)+(2x2)+(2x2)　の様に分解されます。

\begin{align} \widetilde{L_{i}}&=T^{-1} \cdot L_{i} \cdot T = \begin{bmatrix} \boxed{ \rho_{1} }&0&0&0&0&0\\ 0&\boxed{ \rho_{2} }&0&0&0&0\\ 0&0&\boxed{ \rho_{3} }&0&0&0\\ 0&0&0&\boxed{ \rho_{4} }&0&0\\ 0&0&0&0& \boxed{ \begin{matrix} 2 \times 2 \\ \rho_{5,1} \\ \end{matrix}}&0\\ 0&0&0&0&0&\boxed{ \begin{matrix} 2 \times 2 \\ \rho_{5,2} \\ \end{matrix} }\\ \end{bmatrix} \end{align}

\begin{align} \widetilde{L_{E}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & \widetilde{L_{-E}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \\ \notag \\ \widetilde{L_{I}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} & \widetilde{L_{-I}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ \widetilde{L_{J}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{ i} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{ i} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\mathit{ i}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\mathit{ i} & 0\end{bmatrix} & \widetilde{L_{-J}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\mathit{ i} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -\mathit{ i} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{ i}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{ i} & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ \widetilde{L_{K}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -\mathit{ i} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{ i} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{ i} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\mathit{ i}\end{bmatrix} & \widetilde{L_{-K}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{ i} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\mathit{ i} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\mathit{ i} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{ i}\end{bmatrix} \\ \end{align}

このままだと少しわかりにくいため、それぞれの小行列を抽出して整理したのが【表5】となります。

【表5】既約分解された小行列
\(\mathbb{C}[Q_{8}]\)の元	\(g_1\)	\(g_2\)	\(g_3\)	\(g_4\)	\(g_5\)	\(g_6\)	\(g_7\)	\(g_8\)
\(Q_{8}\)の元	\(E\)	\(-E\)	\(I\)	\(-I\)	\(J\)	\(-J\)	\(K\)	\(-K\)
\(\rho_{1}\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(\rho_{2}\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(-1\)	\(-1\)	\(-1\)	\(-1\)
\(\rho_{3}\)	\(1\)	\(1\)	\(-1\)	\(-1\)	\(1\)	\(1\)	\(-1\)	\(-1\)
\(\rho_{4}\)	\(1\)	\(1\)	\(-1\)	\(-1\)	\(-1\)	\(-1\)	\(1\)	\(1\)
\(\rho_{5,1}\)	\(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}0 & \mathit{ i}\\\mathit{ i} & 0\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}0 & -\mathit{ i}\\-\mathit{ i} & 0\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}-\mathit{ i} & 0\\0 & \mathit{ i}\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}\mathit{ i} & 0\\0 & -\mathit{ i}\end{pmatrix}\)
\(\rho_{5,2}\)	\(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}0 & -\mathit{ i}\\-\mathit{ i} & 0\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}0 & \mathit{ i}\\\mathit{ i} & 0\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}\mathit{ i} & 0\\0 & -\mathit{ i}\end{pmatrix}\)	\(\begin{pmatrix}-\mathit{ i} & 0\\0 & \mathit{ i}\end{pmatrix}\)

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