【第1章】四元数群 \(Q_{8}\)
【1-4】原始冪等元の右正則表現 \(R_i\)
前節で \(e_6,e_7\) が原始冪等元になる為の解を6個得る事が出来ましたが、今回は(3.16)の解を採用して以下の計算を続けます。 （勿論(3.15)～(3.29)のどの解を使ってもかまいません。） この条件のもとで、\(e_5\) の代わりに \(e_6,e_7\) を採用すると、既約分解する為の冪等元が下式(4.1)～(4.6)の様にすべてそろう事になります。\begin{align} e_1&=\frac{1}{8}\bigl( g_1+g_2+g_3+g_4+g_5+g_6+g_7+g_8 \bigr) \\ e_2&=\frac{1}{8}\bigl( g_1+g_2+g_3+g_4-g_5-g_6-g_7-g_8 \bigr) \\ e_3&=\frac{1}{8}\bigl( g_1+g_2-g_3-g_4+g_5+g_6-g_7-g_8 \bigr) \\ e_4&=\frac{1}{8}\bigl( g_1+g_2-g_3-g_4-g_5-g_6+g_7+g_8 \bigr) \\ e_6&=\frac{2}{8}\bigl( g_1-g_2+ \mathit{ i}g_7- \mathit{ i}g_8 \bigr) \\ e_7&=\frac{2}{8}\bigl( g_1-g_2- \mathit{ i}g_7+ \mathit{ i}g_8 \bigr) \\ \end{align}
次にこれら冪等元の右正則表現を求めます。 計算は【1-2】節の左正則表現を求める計算と全く同様です
但し今回は、基底 \(\{g_1,g_2,...,g_8\}\) を左から掛けて \(g_j \cdot e_i\) を計算して、 展開係数 \(\mathbf{u}_{i}=[y_1,y_2,...,y_8]\) を求める事により、\(\{e_i\}\) の右正則 表現行列 \(\{R_i\}\) を求めます。計算結果は以下の様になります。
\begin{align} R_{1}&=\frac{1}{8}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} & R_{2}&=\frac{1}{8}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ R_{3}&=\frac{1}{8}\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\-1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1\\-1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\-1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1\\-1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1\end{bmatrix} & R_{4}&=\frac{1}{8}\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\-1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\-1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\-1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ R_{5}&=\frac{1}{4}\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - \mathit{ i} & \mathit{ i}\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{ i} & - \mathit{ i}\\0 & 0 & 1 & -1 & \mathit{ i} & - \mathit{ i} & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 1 & - \mathit{ i} & \mathit{ i} & 0 & 0\\ 0 & 0 & - \mathit{ i} & \mathit{ i} & 1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & \mathit{ i} & - \mathit{ i} & -1 & 1 & 0 & 0\\ \mathit{ i} & - \mathit{ i} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\- \mathit{ i} & \mathit{ i} & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1\end{bmatrix} & R_{6}&=\frac{1}{4}\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathit{ i} & - \mathit{ i}\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & - \mathit{ i} & \mathit{ i}\\0 & 0 & 1 & -1 & - \mathit{ i} & \mathit{ i} & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 1 & \mathit{ i} & - \mathit{ i} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \mathit{ i} & - \mathit{ i} & 1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & - \mathit{ i} & \mathit{ i} & -1 & 1 & 0 & 0\\- \mathit{ i} & \mathit{ i} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ \mathit{ i} & - \mathit{ i} & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
【1-5】既約分解の為の変換行列 \(T\)
次にこの6つの原始冪等元の右正則表現を使って、既約分解する為の変換行列 \(T\) を生成します。その為には、6つの冪等元の右正則表現の行列の中から独立な縦ベクトルを選び出す事が必要になります。
その為に、冪等元の右正則表現行列のランクを調べる事にします。すると以下の様になっています。
\([rank(R_{1})=1,\quad rank(R_{2})=1, \quad rank(R_{3})=1, \quad rank(R_{4})=1, \quad rank(R_{6})=2, \quad rank(R_{7})=2]\)
そこで冪等元の右正則表現の行列 \(R_i\) のランクに対応して、行列 \(R_i\) の中から式(5.1)の様に合計8本の独立な縦ベクトルを 抽出します。その\(\mathbf{v_i}\) を式(5.2)の様に並べれば、既約分解に必要な変換行列 \(T\) を求める事が出来ます。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &rank(R_1)=1 & &\rightarrow & &\mathbf{v_1}=[1,1,1,1,1,1,1,1]^T \\ \\ &rank(R_2)=1 & &\rightarrow & &\mathbf{v_2}=[1,1,1,1,-1,-1,-1,-1]^T \\ \\ &rank(R_3)=1 & &\rightarrow & &\mathbf{v_3}=[1,1,-1,-1,1,1,-1,-1]^T \\ \\ &rank(R_4)=1 & &\rightarrow & &\mathbf{v_4}=[1,1,-1,-1,-1,-1,1,1]^T \\ \\ &rank(R_6)=2 & &\rightarrow & &\mathbf{v_5}=[1,-1,0,0,0,0,\mathit{ i},\mathit{ i}]^T \\ & & & & &\mathbf{v_6}=[0,0,1,-1,\mathit{ i},\mathit{ i},0,0]^T \\ \\ &rank(R_7)=2 & &\rightarrow & &\mathbf{v_7}=[1,-1,0,0,0,0,\mathit{ i},\mathit{ i}]^T \\ & & & & &\mathbf{v_8}=[0,0,1,-1,\mathit{ i},\mathit{ i},0,0]^T \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ & \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ T&=[ \mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3},\mathbf{v_4},\mathbf{v_5},\mathbf{v_6},\mathbf{v_7},\mathbf{v_8}] \\ \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} T&=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1\\1 & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & -\mathit{ i} & 0 & \mathit{ i}\\1 & -1 & 1 & -1 & 0 & \mathit{ i} & 0 & -\mathit{ i}\\ 1 & -1 & -1 & 1 & \mathit{ i} & 0 & -\mathit{ i} & 0\\1 & -1 & -1 & 1 & -\mathit{ i} & 0 & \mathit{ i} & 0\end{bmatrix} & T^{-1}&=\frac{1}{8} \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\ 2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \mathit{ i} & 2 \mathit{ i}\\ 0 & 0 & 2 & -2 & 2 \mathit{ i} & -2 \mathit{ i} & 0 & 0\\2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \mathit{ i} & -2 \mathit{ i}\\ 0 & 0 & 2 & -2 & -2 \mathit{ i} & 2 \mathit{ i} & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
