【第1章】四元数群 \(Q_{8}\)
【1-3】 \(Q_{8}\) の指標表と原始冪等元
四元数の指標表はよく知られているので、そのまま採用し【表４】となります。
但し、 指標 \(\chi_{\rho}\) の添え字 \(\rho\) は表現の種類を表しています。
| \(Q_{8}\)の共役類 | \(C_{1}=E\) | \(C_{2}=-E\) | \(C_{3}=\{I,-I\}\) | \(C_{4}=\{J,-J\}\) | \(C_{5}=\{K,-K\}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathbb{C}[Q_{8}]\)の元 | \(g_1 \) | \(g_{2} \) | \( \{g_{3},g_{4}\} \) | \(\{g_5,g_6\}\) | \(\{g_7,g_8\}\) |
| \(\chi_{1}\) | \(1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \(1\) | \(1\) |
| \(\chi_{2}\) | \( 1\) | \( 1 \) | \(1 \) | \( -1\) | \( -1\) |
| \( \chi_{3}\) | \( 1\) | \( 1\) | \(-1 \) | \( 1\) | \(-1 \) |
| \( \chi_{4}\) | \( 1\) | \( 1 \) | \( -1 \) | \( -1\) | \( 1\) |
| \( \chi_{5}\) | \( 2\) | \( -2 \) | \( 0 \) | \( 0\) | \( 0\) |
指標が判ると簡単に中心冪等元 \(e_{\rho}\) が式(3.1)(3.2)の様に定義できます。
\(d_{\rho}\) は行列表現したときの行列の次元を示しています。 \(|G|\) は群の元の数を示すので、四元数 \(Q_{8}\) の場合は \(8\) です。
\begin{align} e_{\rho}&=\frac{d_{\rho}}{\vert G \vert}\displaystyle \sum_{i=1}^{8}\chi_{\rho}(g_{i}^{-1})g_{i} \qquad [\rho=1,2,3,4,5] \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} e_1=\frac{1}{8}\bigl( g_1+g_2+g_3+g_4+g_5+g_6+g_7+g_8 \bigr) \\ e_2=\frac{1}{8}\bigl( g_1+g_2+g_3+g_4-g_5-g_6-g_7-g_8 \bigr) \\ e_3=\frac{1}{8}\bigl( g_1+g_2-g_3-g_4+g_5+g_6-g_7-g_8 \bigr) \\ e_4=\frac{1}{8}\bigl( g_1+g_2-g_3-g_4-g_5-g_6+g_7+g_8 \bigr) \\ e_5=\frac{2}{8}\bigl( 2g_1 -2g_2 \bigr) \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
最終的な既約表現分解は、\([ \ 8=1^2+1^2+1^2+1^2+2^2 \ ]\)が示すように１次元表現が４種類と２次元表現が1種類（コピーを含めて2つの行列）となるはずである。 その為には中心冪等元 \(e_5\) を構成する２つの原始冪等元 \(\{e_{6},e_{7}\}\) を求める必要がある。
そこで、この２つの原始冪等元 \(\{e_{6},e_{7}\}\) が満たすべき条件として式(3.3)が考えられます。次に冪等元であるためには式(3.4)が 必要条件となります。更に両者は直交している必要がある為、式(3.5)が成立していないといけません。
\begin{align} &e_{5}=e_{6}+e_{7} \\ &e_{6}^2=e_{6}, \qquad e_{7}^2=e_{7} \\ &e_{6} \cdot e_{7}=0 \\ \end{align}
そこで \(e_{6}\) を未知数 \(\{x_1,x_2,...,x_8\}\) を使って 式(3.6)であるとします。
すると、式(3.3)の条件より \(e_7\) は式(3.7)となります。この２式を使い再度式(3.4)(3.5)を書き直すと 式(3.8)の３式 \(\{f_1=0,f_2=0,f_3=0\}\) が成立つ必要があります。
\begin{align} e_{6}&=\frac{1}{4} \bigl( x_{1} \cdot g_{1}+x_{2} \cdot g_{2}+x_{3} \cdot g_{3}+x_{4} \cdot g_{4}+x_{5} \cdot g_{5}+x_{6} \cdot g_{6}+x_{7} \cdot g_{7}+x_{8} \cdot g_{8} \bigr) \\ e_{7}&=e_{5}-e_{6} \notag \\ &=\frac{1}{4} \biggl((2-x_1)g_1-(2+x_2)g_2-x_3g_3-x_4g_4-x_5g_5-x_6g_6-x_7g_7-x_8g_8 \biggr) \\ \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &f_1=e_6^2-e_6=0, \qquad f_2=e_7^2-e_7=0, \qquad f_3=e_6 \cdot e_7=0 \\ \end{align}
式(3.8)が常に成り立つためには、\(\{f_i\}\) の中の \(\{g_i\}\) の係数がすべてゼロである必要があります。
それを式にしたのが、下式(3.9)(3.10)(3.11)の24本の \(\{f_{ij}=0\}\) です。これは \(\{x_1,x_2,...,x_8\}\) に関する 連立代数方程式にほかなりません。
\begin{align} &f_1=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} g_1 \text{の係数：} \quad f_{11}= 2 {x_7} {x_8}+2 {x_5} {x_6}+2 {x_3} {x_4}+{{x}_{2}^{2}}+{{x}_{1}^{2}}-4 {x_1}=0 \\ g_2 \text{の係数：} \quad f_{12}= {{x}_{8}^{2}}+{{x}_{7}^{2}}+{{x}_{6}^{2}}+{{x}_{5}^{2}}+{{x}_{4}^{2}}+{{x}_{3}^{2}}+2 {x_1} {x_2}-4 {x_2}=0 \\ g_3 \text{の係数：} \quad f_{13}= {x_6} {x_8}+{x_5} {x_8}+{x_6} {x_7}+{x_5} {x_7}+2 {x_2} {x_4}+2 {x_1} {x_3}-4 {x_3}=0 \\ g_4 \text{の係数：} \quad f_{14}= {x_6} {x_8}+{x_5} {x_8}+{x_6} {x_7}+{x_5} {x_7}+2 {x_1} {x_4}-4 {x_4}+2 {x_2} {x_3}=0 \\ g_5 \text{の係数：} \quad f_{15}= {x_4} {x_8}+{x_3} {x_8}+{x_4} {x_7}+{x_3} {x_7}+2 {x_2} {x_6}+2 {x_1} {x_5}-4 {x_5}=0 \\ g_6 \text{の係数：} \quad f_{16}= {x_4} {x_8}+{x_3} {x_8}+{x_4} {x_7}+{x_3} {x_7}+2 {x_1} {x_6}-4 {x_6}+2 {x_2} {x_5}=0 \\ g_7 \text{の係数：} \quad f_{17}= 2 {x_2} {x_8}+2 {x_1} {x_7}-4 {x_7}+{x_4} {x_6}+{x_3} {x_6}+{x_4} {x_5}+{x_3} {x_5}=0 \\ g_8 \text{の係数：} \quad f_{18}= 2 {x_1} {x_8}-4 {x_8}+2 {x_2} {x_7}+{x_4} {x_6}+{x_3} {x_6}+{x_4} {x_5}+{x_3} {x_5}=0 \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &f_2=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} g_1 \text{の係数：} \quad f_{21}= 2 {x_7} {x_8}+2 {x_5} {x_6}+2 {x_3} {x_4}+{{x}_{2}^{2}}+4 {x_2}+{{x}_{1}^{2}}=0 \\ g_2 \text{の係数：} \quad f_{22}= {{x}_{8}^{2}}+{{x}_{7}^{2}}+{{x}_{6}^{2}}+{{x}_{5}^{2}}+{{x}_{4}^{2}}+{{x}_{3}^{2}}+2 {x_1} {x_2}+4 {x_1}=0 \\ g_3 \text{の係数：} \quad f_{23}= {x_6} {x_8}+{x_5} {x_8}+{x_6} {x_7}+{x_5} {x_7}+2 {x_2} {x_4}+4 {x_4}+2 {x_1} {x_3}=0 \\ g_4 \text{の係数：} \quad f_{24}= {x_6} {x_8}+{x_5} {x_8}+{x_6} {x_7}+{x_5} {x_7}+2 {x_1} {x_4}+2 {x_2} {x_3}+4 {x_3}=0 \\ g_5 \text{の係数：} \quad f_{25}= {x_4} {x_8}+{x_3} {x_8}+{x_4} {x_7}+{x_3} {x_7}+2 {x_2} {x_6}+4 {x_6}+2 {x_1} {x_5}=0 \\ g_6 \text{の係数：} \quad f_{26}= {x_4} {x_8}+{x_3} {x_8}+{x_4} {x_7}+{x_3} {x_7}+2 {x_1} {x_6}+2 {x_2} {x_5}+4 {x_5}=0 \\ g_7 \text{の係数：} \quad f_{27}= 2 {x_2} {x_8}+4 {x_8}+2 {x_1} {x_7}+{x_4} {x_6}+{x_3} {x_6}+{x_4} {x_5}+{x_3} {x_5}=0 \\ g_8 \text{の係数：} \quad f_{28}= 2 {x_1} {x_8}+2 {x_2} {x_7}+4 {x_7}+{x_4} {x_6}+{x_3} {x_6}+{x_4} {x_5}+{x_3} {x_5}=0 \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &f_3=0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} g_1 \text{の係数：} \quad f_{31}= -2 {x_7} {x_8}-2 {x_5} {x_6}-2 {x_3} {x_4}-{{x}_{2}^{2}}-2 {x_2}-{{x}_{1}^{2}}+2 {x_1}=0 \\ g_2 \text{の係数：} \quad f_{32}= -{{x}_{8}^{2}}-{{x}_{7}^{2}}-{{x}_{6}^{2}}-{{x}_{5}^{2}}-{{x}_{4}^{2}}-{{x}_{3}^{2}}-2 {x_1} {x_2}+2 {x_2}-2 {x_1}=0 \\ g_3 \text{の係数：} \quad f_{33}= -{x_6} {x_8}-{x_5} {x_8}-{x_6} {x_7}-{x_5} {x_7}-2 {x_2} {x_4}-2 {x_4}-2 {x_1} {x_3}+2 {x_3}=0 \\ g_4 \text{の係数：} \quad f_{34}= -{x_6} {x_8}-{x_5} {x_8}-{x_6} {x_7}-{x_5} {x_7}-2 {x_1} {x_4}+2 {x_4}-2 {x_2} {x_3}-2 {x_3}=0 \\ g_5 \text{の係数：} \quad f_{35}= -{x_4} {x_8}-{x_3} {x_8}-{x_4} {x_7}-{x_3} {x_7}-2 {x_2} {x_6}-2 {x_6}-2 {x_1} {x_5}+2 {x_5}=0 \\ g_6 \text{の係数：} \quad f_{36}= -{x_4} {x_8}-{x_3} {x_8}-{x_4} {x_7}-{x_3} {x_7}-2 {x_1} {x_6}+2 {x_6}-2 {x_2} {x_5}-2 {x_5}=0 \\ g_7 \text{の係数：} \quad f_{37}= -2 {x_2} {x_8}-2 {x_8}-2 {x_1} {x_7}+2 {x_7}-{x_4} {x_6}-{x_3} {x_6}-{x_4} {x_5}-{x_3} {x_5}=0 \\ g_8 \text{の係数：} \quad f_{38}= -2 {x_1} {x_8}+2 {x_8}-2 {x_2} {x_7}-2 {x_7}-{x_4} {x_6}-{x_3} {x_6}-{x_4} {x_5}-{x_3} {x_5}=0 \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
上記24本の連立代数方程式を解くとき、これらの式をもっと簡潔にするために、グレブナー基底に変換するのが常套手段です。maximaにはその命令（式(3.12)）があり ます。グレブナー基底に変換した結果は式(3.13)となり、24本の連立代数方程式が11本の連立代数方程式に簡略化されました。グレブナー基底の威力です。
\begin{align} FF&:poly \_ reduced \_ grobner([f_{11},f_{12},....,f_{38}],[x_1,x_2,...,x_8]); \\ \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ FF&=\bigl[{x_8}+{x_7}=0, \ {x_6}+{x_5}=0, \ {x_4}+{x_3}=0, \ {x_2}+{x_1}=0, \biggr. \notag \\ &\qquad \ {{x}_{8}^{2}}+{{x}_{6}^{2}}+{{x}_{4}^{2}}-{{x}_{2}^{2}}-2 {x_2}=0,\ {x_2} {x_6}+{x_6}=0, \notag \\ &\qquad \ {x_2} {x_4}+{x_4}=0, \ {x_2} {x_8}+{x_8}=0, \ {{x}_{8}^{3}}+{{x}_{6}^{2}} {x_8}+{{x}_{4}^{2}} {x_8}+{x_8}=0, \notag \\ &\qquad \bigl.\ {x_4} {{x}_{8}^{2}}+{x_4} {{x}_{6}^{2}}+{{x}_{4}^{3}}+{x_4}=0, \ {x_6} {{x}_{8}^{2}}+{{x}_{6}^{3}}+{{x}_{4}^{2}} {x_6}+{x_6}=0 \bigr] \\ \end{align}
連立方程式(3.13)の解を求める為には、maximaには "solve" （式(3.14)）という命令があります。この命令は、不要な解も出しますが、式(3.15)～(3.20)が有意な解です。
\begin{align} &solve(FF,[x_1,x_2,...,x_8]); \\ &\quad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &(1) \quad \left[ \quad {x_1}=1,{x_2}=-1,{x_3}=0,{x_4}=0,{x_5}=0,{x_6}=0,{x_7}=-\mathit{i},{x_8}=\mathit{i} \quad \right] \\ &(2) \quad \left[ \quad {x_1}=1,{x_2}=-1,{x_3}=0,{x_4}=0,{x_5}=0,{x_6}=0,{x_7}=\mathit{i},{x_8}=-\mathit{i} \quad \right] \\ &(3) \quad \left[ \quad {x_1}=1,{x_2}=-1,{x_3}=-\mathit{i},{x_4}=\mathit{i},{x_5}=0,{x_6}=0,{x_7}=0,{x_8}=0 \quad \right] \\ &(4) \quad \left[ \quad {x_1}=1,{x_2}=-1,{x_3}=\mathit{i},{x_4}=-\mathit{i},{x_5}=0,{x_6}=0,{x_7}=0,{x_8}=0 \quad \right] \\ &(5) \quad \left[ \quad {x_1}=1,{x_2}=-1,{x_3}=0,{x_4}=0,{x_5}=-\mathit{i},{x_6}=\mathit{i},{x_7}=0,{x_8}=0 \quad \right] \\ &(6) \quad \left[ \quad {x_1}=1,{x_2}=-1,{x_3}=0,{x_4}=0,{x_5}=\mathit{i},{x_6}=-\mathit{i},{x_7}=0,{x_8}=0 \quad \right] \\ \end{align}
