【第1章】四元数群 \(Q_{8}\)
【1-1】 \(Q_{8}\) における計算準備
【目的】四元数 \(Q_{8}\) の左正則表現行列を求めて、それを既約表現行列に分解してみる。その手順を示します。まず、【表１】の第１行に、教科書で記述されている四元数の一般的な表記を挙げています。
しかし \(\mathbf{i}\) と純虚数の \(i\) は文字が非常に似ているので、ここでは間違いが無い様に、四元数の元を【表１】の 第２行目に示した \(\{\pm E, \pm I, \pm J, \pm K\}\) で示すことにする。
| \(Q_{8}\) の元（一般） | \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{-1}\) | \(\mathbf{i}\) | \(\mathbf{-i}\) | \(\mathbf{j}\) | \(\mathbf{-j}\) | \(\mathbf{k}\) | \(\mathbf{-k}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(Q_{8}\) の元 \(\{h_i\}\) | \(E\) | \(-E\) | \(I\) | \(-I\) | \(J\) | \(-J\) | \(K\) | \(-K\) |
| 郡代数 \(\mathbb{C}[Q_{8}]\) の元 | \(g_{1}\) | \(g_{2}\) | \(g_{3}\) | \(g_{4}\) | \(g_{5}\) | \(g_{6}\) | \(g_{7}\) | \(g_{8}\) |
式(1.1)(1.2)には四元数の演算規則を挙げておきます。この規則に従って、 \(\{\pm E, \pm I, \pm J, \pm K\}\) の積表を【表２】に示します。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{-1} \\ &\mathbf{i} \cdot \mathbf{j}=-\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}=\mathbf{k}, \quad \mathbf{j} \cdot \mathbf{k}=-\mathbf{k} \cdot \mathbf{j}=\mathbf{i}, \quad \mathbf{k} \cdot \mathbf{i}=-\mathbf{i} \cdot \mathbf{k}=\mathbf{j} \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ & \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} &I^2=J^2=K^2=-E \\ & I \cdot J =- J \cdot I = K, \quad J \cdot K =- K \cdot J = I, \quad K \cdot I =- I \cdot K = J \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
| \( i \backslash j \) | \(E\) | \(-E\) | \(I\) | \(-I\) | \(J\) | \(-J\) | \(K\) | \(-K\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( E\) | \(E\) | \(-E\) | \(I\) | \(-I\) | \(J\) | \(-J\) | \(K\) | \(-K\) |
| \( -E\) | \(-E\) | \(E\) | \(-I\) | \(I\) | \(-J\) | \(J\) | \(-K\) | \(K\) |
| \( I\) | \(I\) | \(-I\) | \(-E\) | \(E\) | \(K\) | \(-K\) | \(-J\) | \(J\) |
| \( -I\) | \(-I\) | \(I\) | \(E\) | \(-E\) | \(-K\) | \(K\) | \(J\) | \(-J\) |
| \( J\) | \(J\) | \(-J\) | \(-K\) | \(K\) | \(-E\) | \(E\) | \(I\) | \(-I\) |
| \( -J\) | \(-J\) | \(J\) | \(K\) | \(-K\) | \(E\) | \(-E\) | \(-I\) | \(I\) |
| \( K\) | \(K\) | \(-K\) | \(J\) | \(-J\) | \(-I\) | \(I\) | \(-E\) | \(E\) |
| \( -K\) | \(-K\) | \(K\) | \(-J\) | \(J\) | \(I\) | \(-I\) | \(E\) | \(-E\) |
今後、正則表現行列や冪等元の行列を計算するために、四元数 \(Q_{8}\) の群代数元 \(\mathbb{C}[Q_{8}]\) を導入しますが、既に【表１】に 四元数 \(Q_{8}\) の元と、群代数元 \(\mathbb{C}[Q_{8}]\) の基底 \(\{g_1,g_2,..,g_8\}\) の対応表を載せてあります。
従って、基底 \(\{g_1,g_2,..,g_8\}\) の演算規則は、【表２】をそのまま対応表に従えば【表３】となります。
| \( i \backslash j \) | \(g_1\) | \(g_2\) | \(g_3\) | \(g_4\) | \(g_5\) | \(g_6\) | \(g_7\) | \(g_8\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g_1\) | \(g_1\) | \(g_2\) | \(g_3\) | \(g_4\) | \(g_5\) | \(g_6\) | \(g_7\) | \(g_8\) |
| \(g_2\) | \(g_2\) | \(g_1\) | \(g_4\) | \(g_3\) | \(g_6\) | \(g_5\) | \(g_8\) | \(g_7\) |
| \(g_3\) | \(g_3\) | \(g_4\) | \(g_2\) | \(g_1\) | \(g_7\) | \(g_8\) | \(g_6\) | \(g_5\) |
| \(g_4\) | \(g_4\) | \(g_3\) | \(g_1\) | \(g_2\) | \(g_8\) | \(g_7\) | \(g_5\) | \(g_6\) |
| \(g_5\) | \(g_5\) | \(g_6\) | \(g_8\) | \(g_7\) | \(g_2\) | \(g_1\) | \(g_3\) | \(g_4\) |
| \(g_6\) | \(g_6\) | \(g_5\) | \(g_7\) | \(g_8\) | \(g_1\) | \(g_2\) | \(g_4\) | \(g_3\) |
| \(g_7\) | \(g_7\) | \(g_8\) | \(g_5\) | \(g_6\) | \(g_4\) | \(g_3\) | \(g_2\) | \(g_1\) |
| \(g_8\) | \(g_8\) | \(g_7\) | \(g_6\) | \(g_5\) | \(g_3\) | \(g_4\) | \(g_1\) | \(g_2\) |
【1-2】 \(Q_{8}\) の左正則表現 \(L_i\)
群代数 \(\mathbb{C}[Q_{8}]\) の元 \(x\) の左正則表現 \(x\) を計算する。その為には、下式(2.1)に示すように \(x\) に右から \(\mathbb{C}[Q_{8}]\) の基底 \(\{g_1,g_2,...,g_8\}\) を順にかけて、 8個の基底で展開するような形式にします。
\begin{align} &x \cdot g_{i}=y_1g_1+y_2g_2+...+y_8g_8 & &\rightarrow & &\mathbf{u}_{i}=[y_1,y_2,...,y_8] \\ &\qquad [i=1,2,...,8] & & & & \notag \\ \end{align}
最後に式(2.3)の様に8個の \(\mathbf{u}_{i}\) を縦ベクトルにして順に並べれば \(g_4\) の左正則表現行列 \(L_{-I}=L_{g_4}\) を得る事が出来ます。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} x \cdot g_{1}=g_4 \cdot g_{1}=g_4 &\rightarrow & \mathbf{u}_{1}=[0,0,0,1,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{2}=g_4 \cdot g_{2}=g_3 &\rightarrow & \mathbf{u}_{2}=[0,0,1,0,0,0,0,0]\\ x \cdot g_{3}=g_4 \cdot g_{3}=g_1 &\rightarrow & \mathbf{u}_{3}=[1,0,0,0,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{4}=g_4 \cdot g_{4}=g_2 &\rightarrow & \mathbf{u}_{4}=[0,1,0,0,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{5}=g_4 \cdot g_{5}=g_8 &\rightarrow & \mathbf{u}_{5}= [0,0,0,0,0,0,0,1]\\ x \cdot g_{6}=g_4 \cdot g_{6}=g_7 &\rightarrow & \mathbf{u}_{6}= [0,0,0,0,0,0,1,0]\\ x \cdot g_{7}=g_4 \cdot g_{7}=g_5 &\rightarrow & \mathbf{u}_{7}= [0,0,0,0,1,0,0,0]\\ x \cdot g_{8}=g_4 \cdot g_{8}=g_6 &\rightarrow & \mathbf{u}_{8}= [0,0,0,0,0,1,0,0]\\ \end{array} \right.\\ \notag \\ & \qquad \Downarrow \notag \\ &L_{(-I)}=L_{g_4}=[\mathbf{u}_{1}^T,\mathbf{u}_{2}^T,\mathbf{u}_{3}^T,\mathbf{u}_{4}^T,\mathbf{u}_{5}^T,\mathbf{u}_{6}^T] =\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
手続き(2.2)(2.3)を \(\mathbb{C}[Q_{8}]\) の基底 \(\{g_1,g_2,...,g_8\}\) に適用すると、全ての基底の左正則表現を 求める事が出来ます。
\begin{align} L_{E}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & L_{-E}&=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\\ \notag \\ L_{I}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} & L_{-I}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ L_{J}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & L_{-J}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ L_{K}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & L_{-K}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
