【第3章】二面体群 \(D_5\)
【3-1】 \(D_5\) における計算準備
【目的】二面体群 \(D_5\) の左正則表現行列を求めて、それを既約表現行列に分解してみる。その手順を示します。もともと、二面体群 \(D_5\) は対称群 \(S_5\) の部分群として位置づけられます。下記の【表1】には、\(S_5\)の元として生成された120個の元のうち、その部分群である二面体群 \(D_5\) の 10個の元 \(\sigma_i\) と、その元の置換操作をあらわす2行表現を示しています。 従って【表1】の \(\sigma_i\) の番号 \(i\) は、対称群 \(S_5\) として発生した際の元の番号付けを意味するものです。 そこで、今後の議論の中ではこの \(\sigma_i\) の番号 \(i\) は無視してかまいません。
むしろ、【表1】の2行目の置換操作を表す2行表現と【表1】の3行目に示してある群代数\(\mathbb{C}[D_5]\) の元 \(g_i\) との対応の方が重要な意味を持ちます。
| \(D_5\) の元 | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{34}\) | \(\sigma_{97}\) | \(\sigma_{65}\) | \(\sigma_{91}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2行表現 | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 3 & 4 & 5 & 1\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\4 & 5 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\) |
| \(\mathbb{C}[D_5]\) の元 | \( g_{1}\) | \( g_{2} \) | \( g_{3} \) | \( g_{4} \) | \(g_{5} \) |
| \(D_5\) の元 | \(\sigma_{24}\) | \(\sigma_{30}\) | \(\sigma_{56}\) | \(\sigma_{87}\) | \(\sigma_{120}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2行表現 | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\1 & 5 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\2 & 1 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\4 & 3 & 2 & 1 & 5\end{pmatrix}\) | \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\) |
| \(\mathbb{C}[D_5]\) の元 | \( g_{6}\) | \( g_{7} \) | \( g_{8} \) | \( g_{9} \) | \(g_{10} \) |
【表1】の2行表現の置換操作と、群代数\(\mathbb{C}[D_5]\) の元 \(g_i\) 元の対応をもとに、群代数\(\mathbb{C}[D_5]\) の元 \(g_i\) の積表を作成したのが【表2】です。
これ以降の群代数\(\mathbb{C}[D_5]\) の計算には、この積表をもとに計算を進めればよいことになります。
| \( i \ \backslash \ j \) | \( {g_1}\) | \({g_2}\) | \({g_3}\) | \({g_4}\) | \({g_5}\) | \({g_6}\) | \({g_7}\) | \({g_8}\) | \({g_9}\) | \({g_{10}}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( {g_1}\) | \({g_1}\) | \({g_2}\) | \({g_3}\) | \({g_4}\) | \({g_5}\) | \({g_6}\) | \({g_7}\) | \({g_8}\) | \({g_9}\) | \({g_{10}}\) |
| \( {g_2}\) | \( {g_2}\) | \({g_4}\) | \({g_1}\) | \({g_5}\) | \({g_3}\) | \({g_7}\) | \({g_8}\) | \({g_9}\) | \({g_{10}}\) | \({g_6}\) |
| \( {g_3}\) | \( {g_3}\) | \({g_1}\) | \({g_5}\) | \({g_2}\) | \({g_4}\) | \({g_{10}}\) | \({g_6}\) | \({g_7}\) | \({g_8}\) | \({g_9}\) |
| \( {g_4}\) | \( {g_4}\) | \({g_5}\) | \({g_2}\) | \({g_3}\) | \({g_1}\) | \({g_8}\) | \({g_9}\) | \({g_{10}}\) | \({g_6}\) | \({g_7}\) |
| \( {g_5}\) | \( {g_5}\) | \({g_3}\) | \({g_4}\) | \({g_1}\) | \({g_2}\) | \({g_9}\) | \({g_{10}}\) | \({g_6}\) | \({g_7}\) | \({g_8}\) |
| \( {g_6}\) | \( {g_6}\) | \({g_{10}}\) | \({g_7}\) | \({g_9}\) | \({g_8}\) | \({g_1}\) | \({g_3}\) | \({g_5}\) | \({g_4}\) | \({g_2}\) |
| \( {g_7}\) | \( {g_7}\) | \({g_6}\) | \({g_8}\) | \({g_{10}}\) | \({g_9}\) | \({g_2}\) | \({g_1}\) | \({g_3}\) | \({g_5}\) | \({g_4}\) |
| \( {g_8}\) | \( {g_8}\) | \({g_7}\) | \({g_9}\) | \({g_6}\) | \({g_{10}}\) | \({g_4}\) | \({g_2}\) | \({g_1}\) | \({g_3}\) | \({g_5}\) |
| \( {g_9}\) | \( {g_9}\) | \({g_8}\) | \({g_{10}}\) | \({g_7}\) | \({g_6}\) | \({g_5}\) | \({g_4}\) | \({g_2}\) | \({g_1}\) | \({g_3}\) |
| \( {g_{10}}\) | \( {g_{10}}\) | \({g_9}\) | \({g_6}\) | \({g_8}\) | \({g_7}\) | \({g_3}\) | \({g_5}\) | \({g_4}\) | \({g_2}\) | \({g_1}\) |
【3-2】 \(D_5\) の左正則表現 \(L_i\)
群代数 \(\mathbb{C}[D_5]\) の元 \(x\) の左正則表現 \(x\) を計算する。その為には、下式(2.1)に示すように \(x\) に右から \(\mathbb{C}[D_5]\) の基底 \(\{g_1,g_2,...,g_{10}\}\) を順にかけて、 10個の基底で展開するような形式にします。
\begin{align} &x \cdot g_{i}=y_1g_1+y_2g_2+...+y_{10}g_{10} & &\rightarrow & &\mathbf{u}_{i}=[y_1,y_2,...,y_{10}] \\ &\qquad [i=1,2,...,10] & & & & \notag \\ \end{align}
最後に式(2.3)の様に10個の \(\mathbf{u}_{i}\) を縦ベクトルにして順に並べれば \(g_4\) の左正則表現行列 \(L_{4}\) を得る事が出来ます。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} x \cdot g_{1}=g_4 \cdot g_{1}=g_4 &\rightarrow & \mathbf{u}_{1}=[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{2}=g_4 \cdot g_{2}=g_5 &\rightarrow & \mathbf{u}_{2}=[0,0,0,0,1,0,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{3}=g_4 \cdot g_{3}=g_2 &\rightarrow & \mathbf{u}_{3}=[0,1,0,0,0,0,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{4}=g_4 \cdot g_{4}=g_3 &\rightarrow & \mathbf{u}_{4}=[0,0,1,0,0,0,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{5}=g_4 \cdot g_{5}=g_1 &\rightarrow & \mathbf{u}_{5}=[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{6}=g_4 \cdot g_{6}=g_8 &\rightarrow & \mathbf{u}_{6}=[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0] \\ x \cdot g_{7}=g_4 \cdot g_{7}=g_9 &\rightarrow & \mathbf{u}_{7}=[0,0,0,0,0,0,0,0,1,0]\\ x \cdot g_{8}=g_4 \cdot g_{8}=g_{10} &\rightarrow & \mathbf{u}_{8}=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,1] \\ x \cdot g_{9}=g_4 \cdot g_{9}=g_6 &\rightarrow & \mathbf{u}_{9}=[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0] \\ x \cdot g_{10}=g_4 \cdot g_{10}=g_7 &\rightarrow & \mathbf{u}_{10}=[0,0,0,0,0,0,1,0,0,0] \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ & \qquad \Downarrow \notag \\ &L_{4}=[\mathbf{u}_{1}^T,\mathbf{u}_{2}^T,\mathbf{u}_{3}^T,\mathbf{u}_{4}^T,\mathbf{u}_{5}^T,\mathbf{u}_{6}^T,\mathbf{u}_{7}^T,\mathbf{u}_{8}^T,\mathbf{u}_{9}^T,\mathbf{u}_{10}^T] =\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
手続き(2.2)(2.3)を \(\mathbb{C}[D_5]\) の基底 \(\{g_1,g_2,...,g_{10}\}\) に適用すると、全ての基底の左正則表現を 求める事が出来ます。
\begin{align} L_{1}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & L_{2}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ L_{3}&=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & L_{4}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ L_{5}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & L_{6}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ L_{7}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & L_{8}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \notag \\ L_{9}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} & L_{10}&=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
