【第3章】二面体群 \(D_5\)
【3-3】 \(D_5\) の指標表と原始冪等元
【表3】はよく知られている二面体群 \(D_5\) の指標表ですここで注意していただきたいのは、\(D_5\) の共役類と、\(\mathbb{C}[D_5]\) の元との関係です。
実は、 \(D_5\) の共役類 \(C_i\) の分類順に\(\mathbb{C}[D_5]\) の元 \(g_i\) の番号 \(i\) が順序良く並ぶように、あらかじめ【表1】では \(D_5\) の元を並べておきました。
| \(D_5\)の共役類 | \(C_{1}\) | \(C_{2}\) | \(C_{3}\) | \(C_{4}\) |
|---|---|---|---|---|
| 共役類の元の数 | \( 1\) | \( 2 \) | \( 2 \) | \( 5 \) |
| \(\mathbb{C}[D_5]\) の元 | \(g_1 \) | \( \{g_{2},g_{3}\} \) | \( \{g_{4},g_{5}\} \) | \( \{g_{6},g_{7},g_{8},g_{9},g_{10}\} \) |
| \(\chi_{1}\) | \( 1\) | \( 1 \) | \(1 \) | \( 1 \) |
| \( \chi_{2}\) | \( 1\) | \( 1\) | \( 1 \) | \( -1 \) |
| \( \chi_{3}\) | \( 2 \) | \(cs_1 \) | \( cs_2 \) | \( 0 \) |
| \( \chi_{4}\) | \( 2 \) | \( cs_2 \) | \( cs_1 \) | \( 0 \) |
まず、【表3】に示すように指標が判ると簡単に中心冪等元 \(e_{\rho}=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\) が(3.1)(3.2)の様に定義できます。
\(d_{\rho}\) は行列表現したときの行列の次元を示しています。
\(|G|\) は群の元の数を示すので、二面体群 \(D_5\) の場合は \(10\) です。
\begin{align} e_{\rho}&=\frac{d_{\rho}}{\vert G \vert}\displaystyle \sum_{i=1}^{10}\chi_{\rho}(g_{i}^{-1})g_{i} \qquad [\rho=1,2,3,4] \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} e_1=\frac{1}{10}\bigl( g_1+g_2+g_3+g_4+g_5+g_6+g_7+g_8+g_9 +g_{10} \bigr) \\ e_2=\frac{1}{10}\bigl( g_1+g_2+g_3+g_4+g_5-g_6-g_7-g_8-g_9-g_{10} \bigr) \\ e_3=\frac{2}{10}\bigl(2g_1+cs_1(g_2+g_3)+cs_2(g_4+g_5) \bigr) \\ e_4=\frac{2}{10}\bigl(2g_1+cs_2(g_2+g_3)+cs_1(g_4+g_5) \bigr) \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
そして、最終的に二面体群 \(D_5\) の元の数は \([ \ 10=1^2+1^2+2^2+2^2 \ ]\) の様に分解できるので、\(\mathbb{C}[D_5]\) の元の(10x10)の正則表現行列は 合計6個の小行列に既約表現に分解されることになります。
しかし中心冪等元 \(\{e_3,e_4\}\) をそのまま使うと、既約分解しようとしても(4x4)の行列までしか分解できません。
そこで(4x4)の行列を、更に(2x2)の小行列に構成する 為には、中心冪等元\(\{e_3,e_4\}\) をそれぞれ2つの原始冪等元 \([ \ e_3 \ \rightarrow \ \{e_{5},e_{6} \ ]\}\) と \([ \ e_4 \ \rightarrow \ \{e_{7},e_{8}\} \ ]\) に分解する必要があります。
【3-3-1】中心冪等元 \(e_3\) を原始冪等元 \(\{e_5,e_6\}\) へ分解
原始冪等元 \(e_{5}\) を(3.3)の様に仮定すると、\(e_{6}\) は(3.4)となり、原始冪等元 \(\{e_{5},e_{6}\}\)が満たすべき条件として(3.5)が考えられます。 \(\{f_a=0,f_b=0\}\) は \(\{e_{5},e_{6}\}\) が原始冪等元であるための条件であり、\(\{f_c=0\}\) は\(\{e_{5},e_{6}\}\) が直交するための条件です。\begin{align} e_5&=\frac{2}{10}\biggl({x_{1}} {g_{1}}+{x_2} {g_2}+{x_3} {g_3}+{x_4} {g_4}+{x_5} {g_5}+{x_6} {g_6}+{x_7} {g_7}+{x_8} {g_8}+{x_9} {g_9}+x_{10} g_{10}\biggr) \\ e_6&=e_3-e_5 \\ &=\frac{2}{10}\biggl( (2-x_1)g_1 +(cs_1-x_2)g_2+(cs_1-x_3)g_3+(cs_2-x_4)g_4+(cs_2-x_5)g_5 \biggr. \notag \\ &\biggl. \qquad -{x_6} {g_6}-{x_7} {g_7}-{x_8} {g_8}-{x_9} {g_9}-x_{10} g_{10}\biggr) \notag \\ \end{align}
\begin{align} &f_a=e_5^2-e_5 =0, \qquad f_b=e_6^2-e_6=0, \qquad f_c=e_5 \times e_6=0\\ \end{align}
(3.5)が常に成り立つためには、\(\{f_a=0,f_b=0,f_c=0\}\) の中の \(\{g_i\}\) の係数がすべてゼロである必要があります。 それを式にしたのが、(3.6)の30本の \(\{f_{i,j}=0, \quad [i=a,b,c], [j=1,2,..,10]\}\) です。これは \(\{x_1,x_2,...,x_{10}\}\) に関する 連立代数方程式にほかなりません。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} f_a=0 \quad \rightarrow \quad eqL_a= [ \ f_{a,1}=0, \ f_{a,2}=0, ..... , \ f_{a,10}=0 \ ] \\ f_b=0 \quad \rightarrow \quad eqL_b= [ \ f_{b,1}=0, \ f_{b,2}=0, ..... , \ f_{b,10}=0 \ ] \\ f_c=0 \quad \rightarrow \quad eqL_c= [ \ f_{c,1}=0, \ f_{c,2}=0, ..... , \ f_{c,10}=0 \ ] \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
上記30本の連立代数方程式を解くとき、これらの式をもっと簡潔にするために、グレブナー基底に変換するのが常套手段です。maximaにはその命令（(3.7)）があり ます。グレブナー基底に変換した結果はかなり簡略化され10本の連立代数方程式となります。式はかなり複雑なので書いておりません。
更にこの10本の連立方程式を解く命令もmaximaには \(solve\) 命令として(3.8)の様に備わっております。
\begin{align} &xL=[x_1,x_2,...,x_{10}] \notag \\ &H:poly \_ reduced \_ grobner([eqL_a,eqL_b,eqL_c],xL); \\ \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &solve(H,xL); \\ \end{align}
(3.8)のmaximaのsolve命令に対して、出力解は全て任意定数 [%r1,%r2,..,%r8] を含む解でしたので、全ての任意定数をすべてゼロにしたら、
単純な解として(3.9)の2つの解が見つかりました。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} (1) \ \bigl[ {x_1}=1,{x_2}=0,{x_3}=cs_1,{x_4}=-1,{x_5}=-cs_1,{x_6}=1,{x_7}=cs_1,{x_8}=-cs_1,{x_9}=-1,{x_{10}}=0 \bigr] \\ (2) \ \bigl[ {x_1}=1,{x_2}=0,{x_3}=cs_1,{x_4}=-1,{x_5}=-cs_1,{x_6}=-1,{x_7}=-cs_1,{x_8}=cs_1,{x_9}=1,{x_{10}}=0 \bigr] \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
【3-3-2】中心冪等元 \(e_4\) を原始冪等元 \(\{e_7,e_8\}\) へ分解
全く同様に(3.2)の中心冪等元 \(e_4\) も、原始冪等元 \(\{e_7,e_8\}\) に分解します。 \(e_{7}\) を(3.10)の様に仮定すると、\(e_{8}\) は(3.11)となり、 原始冪等元 \(\{e_{7},e_{8}\}\)が満たすべき条件として(3.12)が考えられます。\(\{f_d=0,f_e=0\}\) は \(\{e_{7},e_{8}\}\) が原始冪等元であるための条件であり、\(\{f_k=0\}\) は\(\{e_{7},e_{8}\}\) が直交するための条件です。
\begin{align} e_7&=\frac{2}{10}\biggl({y_{1}} {g_{1}}+{y_2} {g_2}+{y_3} {g_3}+{y_4} {g_4}+{y_5} {g_5}+{y_6} {g_6}+{y_7} {g_7}+{y_8} {g_8}+{y_9} {g_9}+y_{10} g_{10}\biggr) \\ e_8&=e_4-e_7 \notag \\ &=\frac{2}{10}\biggl( (2-y_1)g_1 +(cs_2-y_2)g_2+(cs_2-y_3)g_3 +(cs_1-y_4)g_4+(cs_1-y_5)g_5 \biggr. \notag \\ &\biggl. \qquad -{y_6} {g_6}-{y_7} {g_7}-{y_8} {g_8}-{y_9} {g_9}-y_{10} g_{10}\biggr) \\ \end{align}
\begin{align} &f_d=e_7^2-e_7 =0, \qquad f_e=e_8^2-e_8=0, \qquad f_k=e_7 \times e_8=0\\ \end{align}
(3.12)が常に成り立つためには、\(\{f_d=0,f_e=0,f_k=0\}\) の中の \(\{g_i\}\) の係数がすべてゼロである必要があります。 それを式にしたのが、(3.13)の30本の \(\{f_{i,j}=0, \quad [i=d,e,k], [j=1,2,..,10]\}\) です。これは \(\{y_1,y_2,...,y_{10}\}\) に関する 連立代数方程式にほかなりません。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} f_d=0 \quad \rightarrow \quad eqL_a= [ \ f_{d,1}=0, \ f_{d,2}=0, ..... , \ f_{d,10}=0 \ ] \\ f_e=0 \quad \rightarrow \quad eqL_b= [ \ f_{e,1}=0, \ f_{e,2}=0, ..... , \ f_{e,10}=0 \ ] \\ f_k=0 \quad \rightarrow \quad eqL_c= [ \ f_{k,1}=0, \ f_{k,2}=0, ..... , \ f_{k,10}=0 \ ] \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
上記30本の連立代数方程式を解くとき、これらの式をもっと簡潔にするために、グレブナー基底に変換するのが常套手段です。maximaにはその命令(3.14)があり ます。グレブナー基底に変換した結果はかなり簡略化され10本の連立代数方程式となります。式はかなり複雑なので書いておりません。
更にこの10本の連立方程式を解く命令もmaximaには \(solve\) 命令として(3.15)の様に備わっております。
\begin{align} &yL=[y_1,y_2,...,y_{10}] \notag \\ &H:poly \_ reduced \_ grobner([eqL_d,eqL_e,eqL_k],xL); \\ \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &solve(H,xL); \\ \end{align}
(3.15)のmaximaのsolve命令に対して、出力解は全て任意定数 [%r9,%r10,..,%r16] を含む解でしたので、全ての任意定数をすべてゼロにしたら、
単純な解として(3.16)の2つの解が見つかりました。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} (3) \ \bigl[{y_1}=1,{y_2}=0,{y_3}={cs_2},{y_4}=-1,{y_5}=-{cs_2},{y_6}=1,{y_7}={cs_2},{y_8}=-{cs_2},{y_9}=-1,{y_{10}}=0 \bigr] \\ (4) \ \bigl[ {y_1}=1,{y_2}=0,{y_3}={cs_2},{y_4}=-1,{y_5}=-{cs_2},{y_6}=-1,{y_7}=-{cs_2},{y_8}={cs_2},{y_9}=1,{y_{10}}=0 \bigr] \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
