【第3章】二面体群 \(D_5\)
【3-4】原始冪等元の右正則表現 \(R_i\)
前節までの計算のまとめをします。\(\{e_{5},e_{6}\}\) に対しては(3.9)の2つの解(1)(2)のどちらでもよいのですが、今回は(1)の解を採用します。
また \(\{e_{7},e_{8}\}\) に対しては(3.16)の(1)の解を採用します。
以上より二面体群 \(D_5\) の左正則表現行列を、既約表現に分解するための、中心冪等元 \(\{e_1,e_2\}\) と原始冪等元 \(\{e_5,e_6,e_7,e_8\}\) は以の様になりました。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} e_1=\frac{1}{10}\bigl( g_1+g_2+g_3+g_4+g_5+g_6+g_7+g_8+g_9 +g_{10} \bigr) \\ e_2=\frac{1}{10}\bigl( g_1+g_2+g_3+g_4+g_5-g_6-g_7-g_8-g_9-g_{10} \bigr) \\ e_5=\frac{1}{5} \bigl( g_1+cs_1 g_3-g_4-cs_1 g_5+g_6+cs_1 g_7 -cs_1 g_8 -g_9 \bigr) \\ e_6=\frac{1}{5} \bigl( g_1+cs_1 g_2-cs_1 g_4 -g_5-g_6-cs_1 g_7+cs_1 g_8+g_9 \bigr) \\ e_7=\frac{1}{5} \bigl( g_1+cs_2 g_3-g_4-cs_2 g_5+g_6+cs_2 g_7-cs_2 g_8 -g_9 \bigr) \\ e_8=\frac{1}{5} \bigl( g_1+cs_2 g_2-cs_2 g_4-g_5-g_6-cs_2 g_7+cs_2 g_8+g_9 \bigr) \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
次にこれら冪等元の右正則表現を求めます。 計算は【3-2】節の左正則表現を求める計算と全く同様です
但し今回は、基底 \(\{g_1,g_2,...,g_{10}\}\) を左から掛けて \(g_j \cdot e_i\) を計算して、 展開係数 \(\mathbf{u}_{i}=[y_1,y_2,...,y_{10}]\) を求める事により、\(\{e_i\}\) の右正則 表現行列 \(\{R_i\}\) を求めます。計算結果は以下の様になります。
\begin{align} R_{1}&=\frac{1}{10}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} \qquad R_{2}=\frac{1}{10}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ R_{5}&=\frac{2}{10}\begin{bmatrix}1 & cs_1 & 0 & -cs_1 & -1 & 1 & cs_1 & -cs_1 & -1 & 0\\0 & 1 & -1 & cs_1 & -cs_1 & 0 & 1 & cs_1 & -cs_1 & -1\\cs_1 & -cs_1 & 1 & -1 & 0 & cs_1 & -cs_1 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & -cs_1 & 1 & cs_1 & -1 & 0 & 1 & cs_1 & -cs_1\\-cs_1 & -1 & cs_1 & 0 & 1 & -cs_1 & -1 & 0 & 1 & cs_1\\1 & 0 & cs_1 & -1 & -cs_1 & 1 & 0 & -1 & -cs_1 & cs_1\\cs_1 & 1 & -cs_1 & 0 & -1 & cs_1 & 1 & 0 & -1 & -cs_1\\ -cs_1 & cs_1 & -1 & 1 & 0 & -cs_1 & cs_1 & 1 & 0 & -1\\-1 & -cs_1 & 0 & cs_1 & 1 & -1 & -cs_1 & cs_1 & 1 & 0\\0 & -1 & 1 & -cs_1 & cs_1 & 0 & -1 & -cs_1 & cs_1 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ R_{6}&=\frac{2}{10}\begin{bmatrix}1 & 0 & cs_1 & -1 & -cs_1 & -1 & -cs_1 & cs_1 & 1 & 0\\cs_1 & 1 & -cs_1 & 0 & -1 & 0 & -1 & -cs_1 & cs_1 & 1\\0 & -1 & 1 & -cs_1 & cs_1 & -cs_1 & cs_1 & 1 & 0 & -1\\ -cs_1 & cs_1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & -cs_1 & cs_1\\-1 & -cs_1 & 0 & cs_1 & 1 & cs_1 & 1 & 0 & -1 & -cs_1\\-1 & 0 & -cs_1 & 1 & cs_1 & 1 & cs_1 & -cs_1 & -1 & 0\\-cs_1 & -1 & cs_1 & 0 & 1 & 0 & 1 & cs_1 & -cs_1 & -1\\ cs_1 & -cs_1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & cs_1 & -cs_1\\1 & cs_1 & 0 & -cs_1 & -1 & -cs_1 & -1 & 0 & 1 & cs_1\\0 & 1 & -1 & cs_1 & -cs_1 & cs_1 & -cs_1 & -1 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ R_{7}&=\frac{2}{10}\begin{bmatrix}1 & cs_2 & 0 & -cs_2 & -1 & 1 & cs_2 & -cs_2 & -1 & 0\\0 & 1 & -1 & cs_2 & -cs_2 & 0 & 1 & cs_2 & -cs_2 & -1\\cs_2 & -cs_2 & 1 & -1 & 0 & cs_2 & -cs_2 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & -cs_2 & 1 & cs_2 & -1 & 0 & 1 & cs_2 & -cs_2\\-cs_2 & -1 & cs_2 & 0 & 1 & -cs_2 & -1 & 0 & 1 & cs_2\\1 & 0 & cs_2 & -1 & -cs_2 & 1 & 0 & -1 & -cs_2 & cs_2\\cs_2 & 1 & -cs_2 & 0 & -1 & cs_2 & 1 & 0 & -1 & -cs_2\\ -cs_2 & cs_2 & -1 & 1 & 0 & -cs_2 & cs_2 & 1 & 0 & -1\\-1 & -cs_2 & 0 & cs_2 & 1 & -1 & -cs_2 & cs_2 & 1 & 0\\0 & -1 & 1 & -cs_2 & cs_2 & 0 & -1 & -cs_2 & cs_2 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ R_{8}&=\frac{2}{10}\begin{bmatrix}1 & 0 & cs_2 & -1 & -cs_2 & -1 & -cs_2 & cs_2 & 1 & 0\\cs_2 & 1 & -cs_2 & 0 & -1 & 0 & -1 & -cs_2 & cs_2 & 1\\0 & -1 & 1 & -cs_2 & cs_2 & -cs_2 & cs_2 & 1 & 0 & -1\\ -cs_2 & cs_2 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & -cs_2 & cs_2\\-1 & -cs_2 & 0 & cs_2 & 1 & cs_2 & 1 & 0 & -1 & -cs_2\\-1 & 0 & -cs_2 & 1 & cs_2 & 1 & cs_2 & -cs_2 & -1 & 0\\-cs_2 & -1 & cs_2 & 0 & 1 & 0 & 1 & cs_2 & -cs_2 & -1\\ cs_2 & -cs_2 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & cs_2 & -cs_2\\1 & cs_2 & 0 & -cs_2 & -1 & -cs_2 & -1 & 0 & 1 & cs_2\\0 & 1 & -1 & cs_2 & -cs_2 & cs_2 & -cs_2 & -1 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
【3-5】既約分解の為の変換行列 \(T\)
次にこの6つの原始冪等元の右正則表現を使って、既約分解する為の変換行列 \(T\) を生成します。その為には、6つの冪等元の右正則表現の行列の中から独立な縦ベクトルを選び出す事が必要になります。
その為に、冪等元の右正則表現行列のランクを調べる事にします。すると以下の様になっています。
\([rank(R_{1})=1,\quad rank(R_{2})=1, \quad rank(R_{5})=2, \quad rank(R_{6})=2, \quad rank(R_{7})=2, \quad rank(R_{8})=2]\)
そこで冪等元の右正則表現の行列 \(R_i\) のランクに対応して、行列 \(R_i\) の中から(5.1)の様に合計10本の独立な縦ベクトルを 抽出します。その\(\mathbf{v_i}\) を(5.2)の様に並べれば、既約分解に必要な変換行列 \(T\) を求める事が出来ます。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &rank(R_1)=1 & &\rightarrow & &\mathbf{v_1}=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]^T \\ \\ &rank(R_2)=1 & &\rightarrow & &\mathbf{v_2}=[1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1]^T \\ \\ &rank(R_5)=2 & &\rightarrow & &\mathbf{v_3}=[1,0,cs_1,-1,-cs_1,1,cs_1,-cs_1,-1,0]^T \\ & & & & &\mathbf{v_4}=[cs_1,1,-cs_1,0,-1,0,1,cs_1,-cs_1,-1]^T \\ \\ &rank(R_6)=2 & &\rightarrow & &\mathbf{v_5}=[1,cs_1,0,-cs_1,-1,-1,-cs_1,cs_1,1,0]^T \\ & & & & &\mathbf{v_6}=[0,1,-1,cs_1,-cs_1,0,-1,-cs_1,cs_1,1]^T \\ \\ &rank(R_7)=2 & &\rightarrow & &\mathbf{v_7}=[1,0,cs_2,-1,-cs_2,1,cs_2,-cs_2,-1,0]^T \\ & & & & &\mathbf{v_8}=[cs_2,1,-cs_2,0,-1,0,1,cs_2,-cs_2,-1]^T \\ \\ &rank(R_8)=2 & &\rightarrow & &\mathbf{v_9}=[1,cs_2,0,-cs_2,-1,-1,-cs_2,cs_2,1,0]^T \\ & & & & &\mathbf{v_{10}}=[0,1,-1,cs_2,-cs_2,0,-1,-cs_2,cs_2,1]^T \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ & \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ T&=[ \mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3},\mathbf{v_4},\mathbf{v_5},\mathbf{v_6},\mathbf{v_7},\mathbf{v_8},\mathbf{v_9},\mathbf{v_{10}}] \\ \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} T&=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & cs_1 & 1 & 0 & 1 & cs_2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1 & cs_1 & 1 & 0 & 1 & cs_2 & 1\\1 & 1 & cs_1 & -cs_1 & 0 & -1 & cs_2 & -cs_2 & 0 & -1\\ 1 & 1 & -1 & 0 & -cs_1 & cs_1 & -1 & 0 & -cs_2 & cs_2\\1 & 1 & -cs_1 & -1 & -1 & -cs_1 & -cs_2 & -1 & -1 & -cs_2\\1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0\\ 1 & -1 & cs_1 & 1 & -cs_1 & -1 & cs_2 & 1 & -cs_2 & -1\\1 & -1 & -cs_1 & cs_1 & cs_1 & -cs_1 & -cs_2 & cs_2 & cs_2 & -cs_2\\ 1 & -1 & -1 & -cs_1 & 1 & cs_1 & -1 & -cs_2 & 1 & cs_2\\1 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ T^{-1}&=\frac{1}{5} \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 1 & 0 & cs_1 & -1 & -cs_1 & 1 & 0 & -1 & -cs_1 & cs_1\\0 & 1 & -1 & cs_1 & -cs_1 & 0 & 1 & cs_1 & -cs_1 & -1\\1 & 0 & cs_1 & -1 & -cs_1 & -1 & -cs_1 & cs_1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & cs_1 & -cs_1 & cs_1 & -cs_1 & -1 & 0 & 1\\1 & 0 & cs_2 & -1 & -cs_2 & 1 & 0 & -1 & -cs_2 & cs_2\\0 & 1 & -1 & cs_2 & -cs_2 & 0 & 1 & cs_2 & -cs_2 & -1\\ 1 & 0 & cs_2 & -1 & -cs_2 & -1 & -cs_2 & cs_2 & 1 & 0\\0 & 1 & -1 & cs_2 & -cs_2 & cs_2 & -cs_2 & -1 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ \end{align}
