【第3章】二面体群 \(D_5\)
【3-6】\(D_5\) の左正則表現の既約分解
前節で既約分解の為の変換行列 \(T,T^{-1}\) を求める事が出来たので、いよいよ\(\mathbb{C}[D_5]\)の基底の正則表現の既約分解の計算をします。 最終的には、下式(6.1)に示すように (1x1)+(1x1)+(2x2)+(2x2)+(2x2)+(2x2) の様に分解されます。\begin{align} \widetilde{L_{i}}=T^{-1} \times L_{i} \times T &= \begin{pmatrix} \boxed{1}&0&0&0&0&0 \\ 0& \boxed{ \pm 1 }&0&0&0&0\\ 0&0& \boxed{ \begin{matrix} 2 \times 2\\ \rho_{3,1}\\ \end{matrix}}&0&0&0\\ 0&0&0& \boxed{ \begin{matrix} 2 \times 2\\ \rho_{3,2} \\ \end{matrix}}&0&0\\ 0&0& 0&0& \boxed{ \begin{matrix} 2 \times 2\\ \rho_{4,1} \\ \end{matrix}}&0\\ 0&0&0&0&0& \boxed{ \begin{matrix} 2 \times 2\\ \rho_{4,2} \\ \end{matrix}}\\ \end{pmatrix}\\ \end{align}
実際に全ての正則表現に対して既約表現に完全に分解した結果が以下の通りです。
\begin{align} \widetilde{L_{1}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} & \widetilde{L_{2}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_2\end{bmatrix} \\ \notag \\ \widetilde{L_{3}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\end{bmatrix} & \widetilde{L_{4}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -cs_2\end{bmatrix} \\ \notag \\ \widetilde{L_{5}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & cs_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1\end{bmatrix} & \widetilde{L_{6}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1\end{bmatrix} \\ \notag \\ \widetilde{L_{7}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -cs_1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & cs_2\end{bmatrix} & \widetilde{L_{8}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & cs_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_2\end{bmatrix} \\ \notag \\ \widetilde{L_{9}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -cs_1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -cs_1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -cs_2 & cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & cs_2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} & \widetilde{L_{10}}&=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & cs_1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -cs_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & cs_2 & -cs_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -cs_2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \\ \end{align}
このままだと少しわかりにくいため、(6.1)の表現 \(\rho_{i,j}\) と対応を取って、それぞれの小行列を抽出して整理したのが【表5】となります。
| \(\mathbb{C}[D_5]\)の元 | \(g_1\) | \(g_2\) | \(g_3\) | \(g_4\) | \(g_5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\rho_{1}\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(\rho_{2}\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(\rho_{3,1}\) | \(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & cs_1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}cs_1 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & -cs_1\\cs_1 & -cs_1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-cs_1 & cs_1\\-cs_1 & -1\end{bmatrix}\) |
| \(\rho_{3,1}\) | \(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & cs_1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}cs_1 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & -cs_1\\ cs_1 & -cs_1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-cs_1 & cs_1\\-cs_1 & -1\end{bmatrix}\) |
| \(\rho_{4,1}\) | \(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & cs_2\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}cs_2 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & -cs_2\\cs_2 & -cs_2\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-cs_2 & cs_2\\-cs_2 & -1\end{bmatrix}\) |
| \(\rho_{4,1}\) | \(\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & cs_2\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}cs_2 & 1\\-1 & 0\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & -cs_2\\cs_2 & -cs_2\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-cs_2 & cs_2\\-cs_2 & -1\end{bmatrix}\) |
| \(\mathbb{C}[D_5]\)の元 | \(g_1\) | \(g_2\) | \(g_3\) | \(g_4\) | \(g_5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\rho_{1}\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(\rho_{2}\) | \(-1\) | \(-1\) | \(-1\) | \(-1\) | \(-1\) |
| \(\rho_{3,1}\) | \(\begin{bmatrix}1 & cs_1\\0 & -1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & 0\\cs_1 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-cs_1 & -1\\-cs_1 & cs_1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}cs_1 & -cs_1\\-1 & -cs_1\end{bmatrix}\) |
| \(\rho_{3,2}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & 0\\cs_1 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-cs_1 & -1\\-cs_1 & cs_1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}cs_1 & -cs_1\\-1 & -cs_1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}1 & cs_1\\0 & -1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}\) |
| \(\rho_{4,1}\) | \(\begin{bmatrix}1 & cs_2\\0 & -1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & 0\\cs_2 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-cs_2 & -1\\-cs_2 & cs_2\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}cs_2 & -cs_2\\-1 & -cs_2\end{bmatrix}\) |
| \(\rho_{4,2}\) | \(\begin{bmatrix}-1 & 0\\cs_2 & 1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}-cs_2 & -1\\-cs_2 & cs_2\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}cs_2 & -cs_2\\-1 & -cs_2\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}1 & cs_2\\0 & -1\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}\) |
